Участник:Y.ryabkova/Умножение матриц методом Штрассена
Основные авторы описания: Ю.В.Рябкова
Свойства и структура алгоритмов
Общее описание алгоритма
Алгоритм Штрассена, описанный в 1969 году Фолькером Штрассеном, предназначен для умножения двух произвольных матриц при условии согласованности их размеров. В данном варианте алгоритма будет рассмотрен только частный случай умножения квадратных матриц порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] над полем вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math].
В 1965 году Штрассен нашел способ умножения двух матриц размера [math]\displaystyle{ 2 \times 2 }[/math] с использованием семи умножений, в то время как классический алгоритм перемножения матриц требует восьми умножений. Стоит отметить, что данный способ не использует свойство коммутативности для операции перемножения чисел.
Теперь предположим, что [math]\displaystyle{ n = 2^L }[/math], [math]\displaystyle{ L \in \mathbb{N} }[/math], и будем рассматривать матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] как блочные [math]\displaystyle{ 2 \times 2 }[/math]-матрицы с размером блоков [math]\displaystyle{ \frac{n}{2} \times \frac{n}{2} }[/math]. Так как для блочных матриц правила умножения остаются теми же, как если бы на месте блока стояло число, а в методе Штрассена умножения [math]\displaystyle{ 2 \times 2 }[/math]-матриц не используется коммутативность, этот метод подходит и для умножения блочных [math]\displaystyle{ 2 \times 2 }[/math]-матриц. Таким образом, от задачи умножения [math]\displaystyle{ 2 \times 2 }[/math]-матриц с семью умножениями можно перейти к задаче умножения [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]-матриц, требующей не более чем [math]\displaystyle{ O(7n^{\log_27}) }[/math] операций, что асимптотически лучше классического способа умножения матриц [math]\displaystyle{ (O(n^3)) }[/math]. На данный момент известны и более быстрые методы умножения матриц, однако алгоритм Штрассена относительно прост в реализации и эффективен на плотных матрицах не очень больших размеров, поэтому всё ещё широко используется.