Участник:Сорокин Александр/Метод сопряженных градиентов (Решение СЛАУ)

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Метод сопряженных градиентов представляет собой итерационный метод для численного решения системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей, является итерационным методом Крыловского типа. Основная идея метода заключается в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова А-норму ошибки.

Математическое описание алгоритма

Рассмотрим систему уравнений [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где [math]\displaystyle{ A^* = A \gt 0 }[/math].
Выберем произвольное начальное приближение [math]\displaystyle{ x^{(0)} }[/math] и перейдем к редуцированной системе [math]\displaystyle{ Au = r^{(0)} }[/math], где [math]\displaystyle{ r^{(0)} = b - Ax^{(0)} }[/math], [math]\displaystyle{ x = x^{(0)} + u }[/math].
Основная идея метода состоит в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова [math]\displaystyle{ K_i(r^{(0)}, A) }[/math] A-норму ошибки [math]\displaystyle{ e = x - z }[/math], где [math]\displaystyle{ z }[/math] — точное решение системы. Таким образом, [math]\displaystyle{ x^{(i)} = x^{(0)} + y^{(i)} }[/math], где [math]\displaystyle{ y^{(i)} = \underset{y\in K_i(r^{(0)}, A)}{\operatorname{argmin}} || x^{(0)} + y^{(0)} - z ||_A }[/math]