Участник:Кинжикеева Дина/ Алгоритм решения линейной системы сравнений

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

---

Введем некоторые определения.

Определение 1 Пусть m целое число большее единицы (m>1). Говорят, что a сравнимо с b по модулю m, если m делит (a-b) (обозначение: m|(a-b)), а именно выполняется равенство: a = b+tm, где t некоторое целое число. Сравнение записывает таким образом: [math]\displaystyle{ a ≡ b   (mod   m) }[/math].

Определение 2 Число НОД(a,b) называется наибольшим общим делителем двух чисел a,b если:

1. 1. НОД(a,b) делит оба числа a и b;
   2. НОД(a,b) является наибольшим общим делителем чисел a и b, то если d|a и d|b, то d|НОД(a,b) (или, что то же самое, d меньше либо рано НОД(a,b)).

Определение 3 Числа a и b называются взаимно простыми, если НОД(a,b)=1.

Задана линейная система сравнений вида:

[math]\displaystyle{ x ≡ a_1  (mod   m_1) }[/math]

[math]\displaystyle{ x ≡ a_2  (mod   m_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ ... }[/math]

[math]\displaystyle{ x ≡ a_n  (mod   m_n)  , }[/math]

где [math]\displaystyle{   m_1,m_2,...,m_n }[/math] - натуральные взаимно простые числа, [math]\displaystyle{   a_1, a_2,..., a_n }[/math] -некоторые целые числа.

Рассматривается задача решения линейной системы сравнений вида, описанного выше. Данная система сравнений имеет единственное решение по модулю [math]\displaystyle{ M=m_1m_2...m_n }[/math] по китайской теореме об остатках. Эта теорема утверждает, что можно восстановить целое число по множеству его остатков от деления числа из некоторого набора попарно взаимно простых чисел. Теорема в её арифметической формулировке была описана в трактате китайского математика Сунь Цзы, предположительно датируемом третьим веком н. э. и затем была обобщена Цинь Цзюшао в его книге «Математические рассуждения в 9 главах» датируемой 1247 годом, где было приведено точное решение. Утверждение этой теоремы можно рассматривать как алгоритм решения линейной системы сравнений требуемого вида. Искомое решение ищется как сумма вида:

[math]\displaystyle{ x= ∑_{i=1}^{n} a_i M_i N_i   (mod   M)  , }[/math]

где [math]\displaystyle{ M_i=M   /   m_i   , }[/math] [math]\displaystyle{ N_i= M_{i}^{-1}  (mod   m_i) }[/math].

Математическое описание алгоритма

Алгоритм строится на утверждении китайской теоремы об остатках.

Теорема. (Китайская теорема об остатках)

Пусть [math]\displaystyle{ m_1,m_2,...,m_n }[/math] натуральные числа такие, что НОД([math]\displaystyle{ m_i,m_j }[/math])=1, при [math]\displaystyle{ i≠j }[/math] для любых [math]\displaystyle{ i,j=1,2,..,n }[/math]. И пусть [math]\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n }[/math] целые числа. Тогда система сравнений вида:

[math]\displaystyle{ x ≡ a_1  (mod   m_1) }[/math]

[math]\displaystyle{ x ≡ a_2  (mod   m_2) }[/math]

[math]\displaystyle{ ... }[/math]

[math]\displaystyle{ x ≡ a_n  (mod   m_n)  , }[/math]

имеет единственное решение по модулю числа [math]\displaystyle{ M=m_1m_2...m_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ x= ∑_{i=1}^{n} a_i M_i N_i   (mod   M)  (1), }[/math]

где [math]\displaystyle{ M_i=M   /   m_i   , }[/math] [math]\displaystyle{ N_i= M_{i}^{-1}  (mod   m_i) }[/math].

Доказательство. Докажем существование решения, а именно, что решение [math]\displaystyle{ x }[/math] удовлетворяет заданной системе сравнений. Рассмотрим [math]\displaystyle{ x   (mod   m_1) }[/math]. Все слагаемые в сумме (1), кроме первого, делятся на [math]\displaystyle{ m_1 }[/math], а первое слагаемое [math]\displaystyle{ a_1M_1N_1 ≡ a_1   (mod   m_1) }[/math], так как [math]\displaystyle{ M_1N_1≡1   (mod   m_1) }[/math]. Таким образом, [math]\displaystyle{ x ≡ a_1  (mod   m_1) }[/math]. Аналогичным образом для [math]\displaystyle{ m_2,..,m_n }[/math]. Следовательно, [math]\displaystyle{ x }[/math] -решение. Покажем единственность решения. Пусть существуют два различных решения системы [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_2 }[/math].

[math]\displaystyle{ x_0=x_1-x_2 }[/math]

Тогда для любого [math]\displaystyle{ i=1,..,n }[/math] [math]\displaystyle{   m_i|x_0 }[/math], а следовательно и [math]\displaystyle{ M|x_0 }[/math] ([math]\displaystyle{ M|(x_1-x_2) }[/math]). Это означает, что [math]\displaystyle{ x_1 }[/math] можно представить в виде: [math]\displaystyle{ x_1=x_2+kM }[/math], [math]\displaystyle{ k }[/math] некоторое целое число. Следовательно, [math]\displaystyle{ x_1=x_2   (mod   M) }[/math], что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Поэтапное описание алгоритма:

1. Вычисление значения [math]\displaystyle{ M }[/math].

   [math]\displaystyle{ M=m_1m_2...m_n }[/math]

2. Вычисление значений [math]\displaystyle{ M_i }[/math], для всех [math]\displaystyle{ i=1,...,n }[/math].

   [math]\displaystyle{ M_i=M/m_i }[/math]

3. Нахождение обратных элементов к [math]\displaystyle{ M_i }[/math] по соответствующему модулю при помощи алгоритма Евклида. Описание расширенного алгоритма Евклида:

   [math]\displaystyle{ a^{-1}  (mod   b) }[/math]

   [math]\displaystyle{ t_0=a   t_1=b }[/math]

   [math]\displaystyle{ t_0=t_1q_1+t_2 }[/math]

   [math]\displaystyle{ t_1=t_2q_2+t_3 }[/math]

   [math]\displaystyle{ ... }[/math]

   [math]\displaystyle{ t_{k-2}=t_{k-1}q_{k-1}+t_{k}   t_{k}=1 }[/math]

   [math]\displaystyle{ t_{k-1}=t_{k}q_{k} }[/math]

   [math]\displaystyle{ p_0=1   p_1=q_1 }[/math]

   [math]\displaystyle{ p_j=q_jp_{j-1}+p_{j-2}   j=2,...,k }[/math]

   [math]\displaystyle{ a^{-1}=(-1)^{k+1}p_{k-1} }[/math]

4. Формирование итогового ответа.

   [math]\displaystyle{ x=a_1 M_1 N_1+...+a_n M_n N_n   (mod   M) }[/math]