Участник:Сорокин Александр/Метод сопряженных градиентов (Решение СЛАУ)

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Метод сопряженных градиентов представляет собой итерационный метод для численного решения системы уравнений с симметричной и положительно определенной матрицей, является итерационным методом Крыловского типа. Основная идея метода заключается в том, чтобы минимизировать на подпространствах Крылова А-норму ошибки.

Математическое описание алгоритма

Пусть необходимо найти решение системы уравнений [math]\displaystyle{ Ax = b }[/math], где [math]\displaystyle{ A^* = A \gt 0 }[/math].
Рассмотрим функционал [math]\displaystyle{ \phi (x) = \frac{1}{2}x^T A x - x^T b }[/math].
Если [math]\displaystyle{ x^* }[/math] это решение задачи минимизации данного функционала, то в этой точке градиент [math]\displaystyle{ \bigtriangledown \phi (x^*) = Ax^* - b }[/math] должен быть равен нулю. Таким образом, минимизируя функционал [math]\displaystyle{ \phi (x) }[/math] мы получим решение исходной системы.

Метод градиентного спуска

Как известно, градиент [math]\displaystyle{ \bigtriangledown \phi (x) }[/math] является направлением наибольшего роста функции.
Метод градиентного спуска основан на стратегии движения в строну, противоположную возрастанию функционала. Оптимальным направлением в этом случае будет антиградиент [math]\displaystyle{ -\bigtriangledown \phi (x) }[/math] и двигаться по нему нужно будет до тех пор, пока функционал убывает.
Таким образом можно построить метод: [math]\displaystyle{ x_{i+1} = x_{i} + \alpha_i p_i }[/math], где [math]\displaystyle{ p_i }[/math] - направление движения, а [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] - величина шага. Из рассуждений выше понятно что оптимальным является направление [math]\displaystyle{ p_i = - \bigtriangledown \phi (x_{i}) }[/math]. Величина [math]\displaystyle{ \alpha_i }[/math] выбирается из соображений [math]\displaystyle{ \alpha_i = \underset{\alpha}{\operatorname{argmin}} \phi (x_i + \alpha p_i) }[/math].