Участник:Lonalone/Генерация гауссовского вектора методом линейных преобразований

Автор описания: Меньших И. М.

---

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

В статье приведен алгоритм генерации n-мерного случайного вектора, распределенного по нормальному закону, с помощью метода линейных преобразований. Этот метод является одним из наиболее распространенных так называемых корреляционных методов, применяемых в случаях, когда при моделировании непрерывного n-мерного случайного вектора достаточно обеспечить лишь требуемые значения элементов корреляционной матрицы этого вектора (для случая нормального распределения выполнение названного требования означает выполнение достаточного условия полного статистического соответствия теоретического и моделируемого распределений) и вектора математических ожиданий компонент.

Идея алгоритма заключается в линейном преобразовании случайного n-мерного вектора Y c независимыми, одинаково распределенными по стандартному нормальному закону компонентами в случайный вектор X с требуемыми корреляционной матрицей и вектором математических ожиданий компонент.

Математическое описание алгоритма

Даны корреляционная матрица Q и вектор математических ожиданий компонент вектора X:

[math]\displaystyle{ Q = \|q_{ij}\| = \| M[(X_{i} - m_{X_{i}})(X_{j} - m_{X_{j}})]\|, \\ M = (m_{x_{1}}, m_{x_{2}}, ..., m_{x_{n}})^T. }[/math]

Требуется найти такую матрицу В, которая позволяла бы в результате преобразования [math]\displaystyle{ X = BY + M }[/math], где [math]\displaystyle{ Y }[/math] — n-мерный вектор с независимыми нормально распределенными компонентами со стандартными параметрами, получить вектор [math]\displaystyle{ X }[/math] с требуемыми характеристиками.

Будем искать матрицу [math]\displaystyle{ В }[/math] в виде нижней треугольной матрицы. Перейдем от матричной записи к системе алгебраических уравнений:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \vdots \\ X_{n} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_{11} & 0 & \cdots & 0 \\b_{21} & b_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ \vdots \\ Y_{n} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} m_{x_{1}} \\ m_{x_{2}} \\ \vdots \\ m_{x_{n}} \end{pmatrix} \Rightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{cases}X_{1} - m_{x_{1}} = b_{11}Y_{1} \\X_{2} - m_{x_{2}} = b_{21}Y_{1} + b_{22}Y_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\X_{n} - m_{x_{n}} = b_{n1}Y_{1} + b_{n2}Y_{2} + \cdots + b_{nn}Y_{n} \end{cases} }[/math]

Поскольку компоненты вектора [math]\displaystyle{ Y }[/math] независимы и имеют стандартные параметры, справедливо выражение:

[math]\displaystyle{ M[Y_{i}Y_{j}] = \left\{\begin{matrix} 1, &i = j, \\ 0, &i \not= j, \end{matrix}\right . }[/math]