Алгоритм бидиагонализации матрицы методом отражений

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Матрица [math]\displaystyle{ B = [b_{ij}] }[/math] называется (верхней) двухдиагональной, или бидиагональной, если [math]\displaystyle{ b_{ij} = 0 }[/math], [math]\displaystyle{ i \gt j }[/math] или [math]\displaystyle{ i + 1 \lt j }[/math]. Алгоритм бидиагонализации матрицы методом отражений приводит произвольную [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] матрицу A к бидиагональному виду [math]\displaystyle{ B = PAQ }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] и [math]\displaystyle{ Q }[/math] - произведения конечного числа матриц отражения(или вращения).

Математическое описание алгоритма

Пусть дана матрица A размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Сначала мы умножаем A слева на матрицу отражения, аннулирующую все поддиагональные элементы вервого столбца. Затем умножаем результат справа на матрицу отражения, аннулирующую элементы первой строки в позициях с 3-й по n-ю. Далее умножением слева аннулируем все поддиагональные элементы второго столбца, затем умножением справа аннулируем получаем нули во второй строке в позициях с 4-й по n-ю и т.д. После каждого умножения на матрицу отражения все ранее полученные нули остаются.

Литература

Е. Е. Тыртышников, "Методы численного анализа".