Участник:Egor Luckjanow 403/Алгоритм Грамма-Шмидта

Автор: Егор Лукьянов, студент 403 группы ВМК МГУ

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Алгоритм Грама-Шмидта предназначен для построения QR-разложения матрицы.

Математическое описание алгоритма

В основе работы алгоритма лежит метод Грама-Шмидта для построения ортонормированного базиса на основе уже существующего:
[math]\displaystyle{ q_1 = \frac{a_1}{||a_1||} }[/math]
[math]\displaystyle{ p_2 = a_2 - (a_2, q_1)q_1 }[/math]
[math]\displaystyle{ q_2 = \frac{p_2}{||p_2||} }[/math]
[math]\displaystyle{ p_3 = a_3 - (a_3, q_1)q_1 - (a_3, q_2)q_2 }[/math]
[math]\displaystyle{ q_3 = \frac{p_3}{||p_3||} }[/math]
[math]\displaystyle{ ... }[/math]
Мы применяем этот метод к столбцам исходной матрицы A и получаем разложение A = QR, где Q составлена из столбцов q_1,...,q_n, полученных в результате применения метода Грама-Шмидта, а R -- матрица коэффициентов, которая будет верхнетреугольной в силу вида метода.

Вычислительное ядро алгоритма

Ядро алгоритма -- последовательное нахождение Q и R, как в математическом описании.

Макроструктура алгоритма

Макрооперации: скалярное произведение ddot; умножение матрицы на вектор с прибавлением другого вектора daxpy.

Схема реализации последовательного алгоритма

void QR(int N, double* A, double* Q, double* R)
{
	int one = 1;
	for (int i = 0; i < N; ++i) {
		R[i * N + i] = 1;
		for (int k = 1; k < i + 1; ++k) {
			R[i - k + i * N] = ddot(&N, A + i * N, &one, Q + (i - k) * N, &one) / ddot(&N, Q + (i - k) * N, &one, Q + (i - k) * N, &one);
		}
		for (int j = 0; j < N; ++j) {
			Q[j + i * N] = A[j + i * N];
		}
		for (int k = 0; k < i; ++k) {
			double tmp = -R[i - k - 1 + i * N];
			daxpy(&N, &tmp, Q + (i - k - 1) * N, &one, Q + i * N, &one);
		}
		for (int k = i + 1; k < N; ++k) {
			R[k + i * N] = 0;
		}
	}
	for (int i = 0; i < N; ++i) {
		double norm = dnrm2(&N, Q + i * N, &one);
		for (int j = 0; j < N; ++j) {
			Q[j + i * N] /= norm;
		}
		for (int j = 0; j < N; ++j) {
			R[i + j * N] *= norm;
		}
	}
}

Последовательная сложность алгоритма

Сложность последовательного алгоритма -- [math]\displaystyle{ O(n^3) }[/math].

Ресурс параллелизма алгоритма

Параллельная сложность (в терминах операций сложения и умножения) -- [math]\displaystyle{ O(n^2) }[/math].

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные -- размер матрицы и сама матрица. Выходные данные -- матрицы [math]\displaystyle{ Q }[/math] и [math]\displaystyle{ R }[/math] из QR-разложения поданной на вход матрицы.

Свойства алгоритма

Алгоритм Грамма-Шмидта обладает свойством потери ортогональности. Поэтому для корректной его реализации необходимо время от времени делать реортогонализацию, а также обеспечить максимально возможную точность вычислений с плавающей точкой. Можно реализовать алгоритм для работы с рациональными матрицами. Тогда проблема с потерей ортогонализации пропадает (в виду идеальной точности вычислений в кольцах вида [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/\lt m\gt }[/math] на компьютере).

Программная реализация алгоритма

Особенности реализации последовательного алгоритма

Проблема с потерей ортогональности уже описана в свойствах алгоритма.

Возможные способы и особенности параллельной реализации алгоритма

Метод Грамма-Шмидта плохо приспособлен для параллельной реализации. Единственный способ, известный автору -- отдать каждому процессу по группе столбцов [math]\displaystyle{ q_i }[/math] для вычисления. Число пересылок тогда составляет [math]\displaystyle{ n(n+1)/2 }[/math].

Масштабируемость алгоритма и его реализации

Алгоритм увеличивает время своей работы при добавлении независимых вычислительных ядер. Алгоритм обладает сильной масштабируемостью.

Динамические характеристики и эффективность реализации алгоритма

При выборе системы для запуска предпочтение следует отдавать скорости обмена данными между процессами. При выборе архитектуры необходимо учесть наличие возможности вычислений с высокой точностью. Параллельный алгоритм не дает разительного превосходства по времени исполнения в сравнении с последовательным, но все же имеет место заметное уменьшение времени исполнения при выполнении указанных условий.

Выводы для классов архитектур

Реализация архитектурно независима. Зависимы только макрооперации, которые предполагаются уже реализованными.

Существующие реализации алгоритма

В силу потери ортогональности алгоритм Грамма-Шмидта пользуется небольшой популярностью в сравнении с альтернативными методами QR-разложения, так что популярных параллельных реализаций нет. Альтернативный (не Грамм-Шмидт) метод представлен, например, в пакете LAPACK и является одним из лучших по производительности.

Литература

1. Е. Е. Тыртышников, Методы численного анализа
2. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц
3. С. Ленг, Алгебра
4. Е. Е. Тыртышников, Основы алгебры