Черкашин Данил Андреевич/Алгоритм оптимального управления Фурье-фильтром

Автор: Черкашин Данил Андреевич

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Алгоритм предназначен для решения задачи оптимального управления в модели нелинейной оптической системы с контуром обратной связи. Целью управления является минимизация интегрального функционала качества, который характеризует отклонение траектории фазовой модуляции [math]\displaystyle{ u(x, t) }[/math] от заданной целевой траектории [math]\displaystyle{ u_d(t) }[/math] на всем промежутке времени. Управление системой осуществляется путем изменения во времени параметров динамического Фурье-фильтра [math]\displaystyle{ P(t) }[/math], который представляет собой набор комплексных коэффициентов, применяемых к пространственным гармоникам светового поля.

С математической точки зрения, алгоритм решает задачу минимизации для системы, описываемой нелинейным уравнением в частных производных параболического типа (уравнение диффузии с нелинейной правой частью).

Основу алгоритма составляет итерационный метод градиентного спуска. Одна полная итерация метода включает в себя следующие шаги:

1. Решение прямой задачи: При текущем управлении [math]\displaystyle{ P(t) }[/math] решается нелинейное уравнение состояния для нахождения траектории системы [math]\displaystyle{ u(x, t) }[/math]. Численно задача решается с помощью неявной схемы Кранка-Николсон. На каждом временном шаге нелинейная система уравнений решается методом простой итерации, где основными вычислительными операциями являются прямое и обратное Быстрое Преобразование Фурье (БПФ).
2. Решение сопряженной задачи: Для нахождения сопряженной переменной [math]\displaystyle{ \psi(x, t) }[/math] решается линейное параболическое уравнение назад по времени (от [math]\displaystyle{ t = T }[/math] до [math]\displaystyle{ t = 0 }[/math]). Численное решение также основано на схеме Кранка-Николсон и БПФ.
3. Вычисление градиента: С использованием решений прямой и сопряженной задач вычисляется градиент функционала качества по управляющим параметрам.
4. Обновление управления: Параметры фильтра [math]\displaystyle{ P(t) }[/math] обновляются шагом в направлении антиградиента.

Алгоритм является вычислительно интенсивным, так как требует многократного решения уравнений в частных производных на всей пространственно-временной области.

Математическое описание алгоритма

Основные математические объекты

Основным пространством для состояния системы [math]\displaystyle{ u(x, t) }[/math] по пространственной переменной [math]\displaystyle{ x \in (0, 2\pi) }[/math] является гильбертово пространство комплекснозначных функций [math]\displaystyle{ H = L_2(0, 2\pi) }[/math]. Линейная часть эволюционного уравнения определяется самосопряженным положительно определенным оператором [math]\displaystyle{ A }[/math]: [math]\displaystyle{ Au := u - D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} }[/math] где [math]\displaystyle{ D \gt 0 }[/math] — коэффициент диффузии. Ортонормированный базис собственных функций этого оператора [math]\displaystyle{ \{e_n\}_{n \in \mathbb{Z}} }[/math] и соответствующие собственные значения [math]\displaystyle{ \{\lambda_n\}_{n \in \mathbb{Z}} }[/math] задаются формулами: [math]\displaystyle{ e_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}, \quad \lambda_n = 1 + Dn^2, \quad n \in \mathbb{Z} }[/math]

Управление системой осуществляется через динамический Фурье-фильтр [math]\displaystyle{ P(t) = \{p_k(t)\}_{k \in \mathbb{Z}} }[/math]. Оператор фильтра [math]\displaystyle{ \Phi_{P(t)} }[/math] действует как умножение на коэффициенты [math]\displaystyle{ p_k(t) }[/math] в базисе Фурье: [math]\displaystyle{ \Phi_{P(t)}(f)(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} p_k(t) f_k e_k(x), \quad \text{где } f_k = (f, e_k)_H }[/math]

Уравнение состояния

Эволюция фазовой модуляции [math]\displaystyle{ u(x, t) }[/math] описывается следующей начально-краевой задачей: [math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} + Au = F(u, P(t)), \quad (x, t) \in Q_T = (0, 2\pi) \times (0, T] }[/math] с периодическими граничными условиями [math]\displaystyle{ u(0, t) = u(2\pi, t), \quad \frac{\partial u}{\partial x}(0, t) = \frac{\partial u}{\partial x}(2\pi, t), \quad t \in (0, T] }[/math] и начальным условием [math]\displaystyle{ u(x, 0) = u_0(x), \quad x \in [0, 2\pi] }[/math] где нелинейная функция [math]\displaystyle{ F }[/math] определяется как: [math]\displaystyle{ F(u; P(t)) = K|\Phi_{E+P(t)}(A_{in}e^{iu})|^2 }[/math] Здесь [math]\displaystyle{ K \gt 0 }[/math] — константа, [math]\displaystyle{ A_{in}(x) }[/math] — амплитуда входного поля, [math]\displaystyle{ \Phi_{E+P(t)} = I + \Phi_{P(t)} }[/math].

Задача оптимального управления

Задача состоит в минимизации интегрального функционала качества [math]\displaystyle{ J(P) }[/math]: [math]\displaystyle{ J(P) = \int_0^T \rho(t) \|u(t; P) - u_d(t)\|_H^2 dt \to \inf_{P \in \mathcal{P}} }[/math] где [math]\displaystyle{ \mathcal{P} }[/math] — допустимое множество управлений, [math]\displaystyle{ u_d(t) }[/math] — заданная траектория, [math]\displaystyle{ \rho(t) \ge 0 }[/math] — весовая функция.

Сопряженная задача и градиент функционала

Для нахождения градиента функционала вводится сопряженная переменная [math]\displaystyle{ \psi(x,t) }[/math], которая является решением следующей терминально-краевой задачи (решается назад во времени от [math]\displaystyle{ t=T }[/math] до [math]\displaystyle{ t=0 }[/math]): [math]\displaystyle{ -\frac{\partial \psi}{\partial t} + A^*\psi - F_u^*(u, P)\psi = 2\rho(t)(u(t) - u_d(t)), \quad (x, t) \in Q_T }[/math] с периодическими граничными условиями и терминальным условием [math]\displaystyle{ \psi(x, T) = 0 }[/math]. Здесь [math]\displaystyle{ A^*=A }[/math], а [math]\displaystyle{ F_u^* }[/math] – сопряженный оператор к производной Фреше [math]\displaystyle{ F_u }[/math].

Градиент функционала [math]\displaystyle{ J(P) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ t }[/math] вычисляется по явной формуле: [math]\displaystyle{ \nabla J(P)(t) = F_p^*(u(t; P), P(t))\psi(t) }[/math] где [math]\displaystyle{ k }[/math]-я компонента сопряженного оператора [math]\displaystyle{ F_p^* }[/math] имеет вид: [math]\displaystyle{ (F_p^*(u, P)\psi)_k = 2K(\Phi_{E+P}(A)\psi, A_k e_k)_H }[/math] где [math]\displaystyle{ A = A_{in}e^{iu} }[/math] и [math]\displaystyle{ A_k = (A, e_k)_H }[/math].

Литература

1. Mercer C., Creath K. Liquid-crystal point-diffraction interferometer for wave-front measurements // Applied Optics. — 1996. — T. 35, № 10. — C. 1633–1642.
2. Chen W., Javidi B., Chen X. Advances in optical security systems // Advances in Optics and Photonics. — 2014. — T. 6, № 2. — C. 120–155.
3. Shirai T. [и др.]. Fourier Synthesis in Classical Ghost Imaging // Imaging and Applied Optics. — Toronto: OSA, 2011. — JWA17.
4. Liansheng S. [и др.]. Optical image encryption via high-quality computational ghost imaging using iterative phase retrieval // Laser Physics Letters. — 2018. — T. 15, № 7. — C. 075201.
5. Goodman J. Introduction to Fourier optics. — 2nd. — New York : McGraw-Hill, 1996. — (McGraw-Hill series in electrical and computer engineering).
6. Degtiarev E., Vorontsov M. Spatial filtering in nonlinear two-dimensional feedback systems: phase-distortion suppression // Journal of the Optical Society of America B. — 1995. — T. 12, № 7. — C. 1238–1248.
7. Justh E. [и др.]. Adaptive optics with advanced phase-contrast techniques II Highresolution wave-front control // Journal of the Optical Society of America A. — 2001. — T. 18, № 6. — C. 1300–1309.
8. Dale S. [и др.]. Wavefront correction using a self-referencing phase conjugation system based on a Zernike cell // Optics Communications. — 2001. — T. 191, № 1-2.
9. Larichev A., Nikolaev I., Shmalgauzen V. Optical dissipative structures with a controlled spatial period in a nonlinear system and with a Fourier filter in a feedback loop // Quantum Electronics. — 1996. — T. 26, № 10. — C. 871–875.
10. Larichev A., Nikolaev I., Violino P. LCLV-based system for high resolution wavefront correction: phase knife as a feedback intensity producer // Optics Communications. — 1997. — T. 138, № 1-3. — C. 127–135.
11. Nikolaev I., Larichev A., Shmalgauzen V. Controlled optical structures in a nonlinear system involving the suppression of low spatial frequencies in the feedback loop // Quantum Electronics. — 2000. — T. 30, № 7. — C. 617–622.
12. Сазонова. Исследование моделей матричной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью : кандидатская диссертация / Сазонова С.В. — Факультет вычислительной математики и кибернетики, МГУ имени М.В. Ломоносова, 2021.
13. Poyneer L., Macintosh B., Véran J.-P. Fourier transform wavefront control with adaptive prediction of the atmosphere // Journal of the Optical Society of America A. — 2007. — T. 24, № 9. — C. 2645–2655.
14. Nagashima M., Agrawal B. Application of complex-valued FXLMS adaptive filter to Fourier basis control of adaptive optics // Proceedings of the 2011 American Control Conference. — San Francisco, CA: IEEE, 2011. — C. 2939–2944.
15. Horenstein M. [и др.]. Real time optical correction using electrostatically actuated MEMS devices // Journal of Electrostatics. — 1999. — T. 46, № 2-3.
16. Потапов, Чечкина. Об одной модели амплитудно-фазовой фильтрации в нелинейной оптической системе с обратной связью // Вычислительная математика и кибернетика. — 1997. — № 4. — C. 31–36. — (15-я сер.)
17. Разгулин, Чушкин. О задаче оптимальной Фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2004. — T. 44, № 9. — C. 1608–1618.
18. Razgulin A. Projection-difference method for controlled Fourier filtering // Computational Mathematics and Modeling. — 2012. — T. 23, № 1. — C. 56–71.
19. Ладыженская, Солонников, Уральцева. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М. : Наука, 1967.