Участник:KibAndrey/Ортогонализация Грама-Шмидта

Ортогонализация Грама-Шмидта
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ O(n^3) }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]

Основные авторы описания: А.В.Кибанов, Т.З.Аджиева

ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритма

Математическое описание алгоритма

Исходные данные: [math]\displaystyle{ k }[/math] векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},...,\mathbf{a_n} }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math] [math]\displaystyle{ \left(\alpha_{ij}\right. }[/math], [math]\displaystyle{ j=1,2,...,n }[/math], — координаты вектора [math]\displaystyle{ \left.\mathbf{a_i}\right) }[/math] .

Вычисляемые данные:

[math]\displaystyle{ k }[/math] ортогональных векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{b_1},\mathbf{b_2},...,\mathbf{b_n} }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math], причем [math]\displaystyle{ \mathbf{b_1}=\mathbf{a_1} }[/math] либо

[math]\displaystyle{ k }[/math] ортонормированных векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{e_1},\mathbf{e_2},...,\mathbf{e_n} }[/math] длины [math]\displaystyle{ n }[/math], причем [math]\displaystyle{ \mathbf{e_1}=\frac{\mathbf{a_1}}{|\mathbf{a_1}|} }[/math]

Формулы процесса ортогонализации:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \mathbf{b_{1}} & =\mathbf{a_{1}}, \\ \mathbf{b_{2}}& =\mathbf{a_{2}}-proj_{\mathbf{b_1}}\mathbf{a_{1}}, \\ & ...\\ \mathbf{b_{{i} }} & = \mathbf{a_{i}}-\sum\limits_{j=1}^{i-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{j}},\\ & ...\\ \mathbf{b_{n}} & =\mathbf{ a_{n}}-\sum\limits_{j=1}^{n-1} proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{j}},\\ \end{align} }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{j}} }[/math], для [math]\displaystyle{ j=1,...,n-1 }[/math] — проекция вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{a_{j}} }[/math] на направление вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{b_{j}} }[/math]. Это число, равное по величине проекции вектора [math]\displaystyle{ \mathbf{a_{j}} }[/math] на ось, проходящую через вектор [math]\displaystyle{ \mathbf{b_j} }[/math]. Формула для ее вычисления, полученная из определения скалярного произведения:

[math]\displaystyle{ proj_{\mathbf{b_j}}\mathbf{a_{j}}=\frac{(\mathbf{aj},\mathbf{bj})}{|\mathbf{b_j}|}. }[/math]

Иногда полученные векторы нормируются сразу после их нахождения и находится система ртонормированных векторов [math]\displaystyle{ \mathbf{e_1},\mathbf{e_2},...,\mathbf{e_n} }[/math]. В этом случае [math]\displaystyle{ \mathbf|{e_i}|=1 }[/math], что существенно упрощает вычисления алгоритма. Cуществует также модифицированная версия алгоритма, однако в данном описании разобран только классический алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта.

Вычислительное ядро алгоритма

Анализ математических формул процесса ортогонализации Грама-Шмидта показывает, что алгоритм имеет три вычислительных ядра.

Схема реализации последовательного алгоритма

[math]\displaystyle{ \begin{align} a_{1} & =b_{1}, \\ \beta_{ij} & = \frac{(a_{i},b_j)}{(b_j,b_j)}=-\frac{(a_i,b_j)}{|b_j|^2}, \quad i \in [2, n], \quad j \in [1, n] ,\\ \end{align} }[/math]

Литература

[1] Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, 1. Teil: Entwicklung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener. – Mathematische Annalen, 63 (1907), pp. 433–476

[2] Meyer C. D. Matrix analysis and applied linear algebra. – Siam, 2000. – Т. 2.

[3] Википедия [Электронный ресурс]. Тема: Процесс_Грама_―_Шмидта – Электрон. дан. – URL [1] (дата обращения 18.09.2016)