Участник:Galkina/Метод Якоби вычисления собственных значений симметричной матрицы

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

По заданной симметрической матрице [math]\displaystyle{ A = A_0 }[/math] строится последовательность ортогонально подобных матриц [math]\displaystyle{ A_1,A_2,... }[/math]. Эта последовательность сходится к диагональной матрице, на диагонали которой стоят собственные значения.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные: симметрическая матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math]).

Вычисляемые данные: диагональная матрица [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] (элементы [math]\displaystyle{ \lambda_{ij} }[/math]).

Матрица [math]\displaystyle{ A_{i+1} }[/math] получается из [math]\displaystyle{ A_i }[/math] по формуле [math]\displaystyle{ A_{i+1}={J_i}^TA_iJ_i }[/math], где [math]\displaystyle{ J_i }[/math] — ортогональная матрица, называемая вращением Якоби.

Матрица [math]\displaystyle{ J_i }[/math] выбирается так, чтобы сделать нулями пару внедиагональных элементов матрицы [math]\displaystyle{ A_{i+1} }[/math].