Участник:Gkhazeeva/Нечеткий алгоритм C средних

Нечеткий алгоритм C средних
Последовательный алгоритм
Последовательная сложность	[math]\displaystyle{ }[/math]
Объём входных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Объём выходных данных	[math]\displaystyle{ }[/math]
Параллельный алгоритм
Высота ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]
Ширина ярусно-параллельной формы	[math]\displaystyle{ }[/math]

Авторы : Гелана Хазеева, Павел Юшин

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Кластеризация - это объединение объектов в группы (кластеры) на основе схожести признаков для объектов одной группы и отличий между группами. Нечеткий алгоритм C Средних (Fuzzy C-means, FCM) - алгоритм кластеризации, позволяющий объектам принадлежать с различной степенью нескольким кластерам одновременно. Впервые алгоритм был предложен J.C. Dunn в 1973 . Нечеткое разбиение позволяет просто решить проблему объектов, расположенных на границе двух кластеров - им назначают степени принадлежностей равные 0.5.

Входные данные алгоритма: набор векторов, которые следует кластеризовать.

Параметры алгоритма: [math]\displaystyle{ c }[/math] - количество кластеров; [math]\displaystyle{ m }[/math] - экспоненциальный вес; [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] - параметр останова алгоритма.

Выходные данные: матрица вероятностей принадлежности векторов кластерам.

Краткое описание алгоритма:

• Задать параметры алгоритма.

• Сгенерировать случайную матрицу принадлежностей векторов кластерам (матрицу нечеткого разбиения).

• Повторить следующие шаги до момента, пока матрицы нечеткого разбиения на этом и предыдущем шаге алгоритма будут отличать менее чем на параметр останова.
  • Рассчитать центры кластеров.
  • Рассчитать расстоение между объектами и центрами кластеров.
  • Пересчитать элементы матрицы нечеткого разбиения.

Математическое описание алгоритма

Пусть [math]\displaystyle{ W = w_{ij} \in[0,1],\; i = 1, ..., M, \; j = 1, ..., c }[/math] - матрица разбиения, где [math]\displaystyle{ w_{i,j} }[/math] - степень принадлежности объекта [math]\displaystyle{ i }[/math] к кластеру [math]\displaystyle{ j }[/math]; [math]\displaystyle{ c }[/math] - количество кластеров, [math]\displaystyle{ M }[/math] - количество векторов.

При этом элементы матрицы должны удовлетворять условиям:

• [math]\displaystyle{ \sum_{j = 1}^c w_{ij} = 1, i = 1, ..., M }[/math] [math]\displaystyle{ (1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ 0 \lt \sum_{i = 1}^M w_{ij} \lt M, j = 1, ..., c }[/math] [math]\displaystyle{ (2) }[/math]

Тогда алгоритм принимает следующий вид:

1) Задаем параметры алгоритма: [math]\displaystyle{ c }[/math] - количество кластеров; [math]\displaystyle{ m \gt = 1 }[/math] - экспоненциальный вес, определяющий нечеткость кластеров; [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math] - параметр останова алгоритма.

2) Генерируем случайным образом матрицу нечеткого разбиения с учетом условий [math]\displaystyle{ (1) }[/math] и [math]\displaystyle{ (2) }[/math]

3) Рассчитываем центроиды (центры кластеров): [math]\displaystyle{ V_i = {{\sum_{i=1}^M w_{ij}^m * |X_i|} \over {\sum_{i=1}^M w{ij}^m}}, j = 1, ..., c }[/math]

4) Рассчитываем расстояния между объектами [math]\displaystyle{ X }[/math] и центроидами:

[math]\displaystyle{ D_{ij} = \sqrt{{||X_i - V_j||}^2}, i = 1,...,M; j = 1,...,c }[/math]

5) Пересчет элементов матрицы разбиения:

при [math]\displaystyle{ D_{ki} \gt 0 }[/math] : [math]\displaystyle{ w_{kj} = {{1}\over {{ ( D_{jk}^2 * \sum_{j=1}^c {{1}\over{D_{jk}^2}} ) }^{1/(m-1)}}}, j = 1,...,c }[/math]

при [math]\displaystyle{ D_{ki} =0 }[/math] : [math]\displaystyle{ w_{kj} = \delta_{ji} }[/math], где [math]\displaystyle{ \delta_{ji} }[/math] - символ Кронекера

6) Если [math]\displaystyle{ || F - F^{*} || \lt \varepsilon }[/math], где [math]\displaystyle{ F^{*} }[/math] - матрица нечеткого разбиения предыдущей итерации, то идем далее, иначе возвращаемся на пункт 3.

7) Конец.