Участница:Tameeva.a/Метод Якоби вычисления собственных значений симметричной матрицы

ЧАСТЬ. Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Метод Якоби вычисления собственных значений симметричной матрицы — итерационный алгоритм, названный в честь предложившего его в 1846 году Карла Густава Якоба Якоби. Исторически старейший метод для решения проблемы собственных значений получил широкое применение только в 1950-х годах с появлением компьютеров. Преимуществом метода является более точное вычисление малых собственных значений по сравнению с конкурирующими алгоритмами.

Суть алгоритма — приведение симметрической матрицы к диагональной с собственными значениями на диагонали путем вращения.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные: симметрическая матрица [math]\displaystyle{ A=\{a_{ij}\} }[/math].

Вычисляемые данные: диагональная матрица [math]\displaystyle{ \Lambda=\{\lambda_{ii}\} }[/math]. Диагональные элементы [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] — собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], столбцы — приближенные собственные вектора.

По заданной матрице [math]\displaystyle{ A=A_0 }[/math] строится последовательность ортогонально подобных матриц [math]\displaystyle{ A_1, A_2,\ldots, A_m }[/math], сходящихся к [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math].

[math]\displaystyle{ A_{i+1}={J_i}^TA_iJ_i }[/math], где [math]\displaystyle{ J_i }[/math] — ортогональная матрица, называемая вращением Якоби.

Матрица [math]\displaystyle{ J_i }[/math] выбирается так, чтобы обнулить элементы [math]\displaystyle{ (j,k) }[/math] и [math]\displaystyle{ (k,j) }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ A_{i+1} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{matrix}j & & & & & & & & k \end{matrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} J_i = \begin{matrix} \\ \\ j \\ \\ \\ \\ \\k \\ \\ \end{matrix} \begin{bmatrix} & 1 & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & \\ & & & \ddots & & & & & & \\ & & & & \cos(\theta) & & -\sin(\theta) & & & \\ & & & & & \ddots & & & & \\ & & & & \sin(\theta) & & \cos(\theta) & & & \\ & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & 1 & \\ & & & & & & & & & 1 \\ \end{bmatrix} \end{align} }[/math]

Для угла вращения [math]\displaystyle{ \theta }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}a^{(i+1)}_{jj} & a^{(i+1)}_{jk} \\ a^{(i+1)}_{kj} & a^{(i+1)}_{kk}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta &\cos\theta\end{bmatrix}^{T} \begin{bmatrix}a^{(i)}_{jj} & a^{(i)}_{jk} \\ a^{(i)}_{kj} & a^{(i)}_{kk}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta &\cos\theta\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}, }[/math] где [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \lambda_2 }[/math] — собственные значения подматрицы [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}a^{(i)}_{jj} & a^{(i)}_{jk} \\ a^{(i)}_{kj} & a^{(i)}_{kk}\end{bmatrix} }[/math].

Вычислим [math]\displaystyle{ s = \sin \theta }[/math] и [math]\displaystyle{ c = \cos \theta }[/math], исходя из предыдущего матричного равенства:

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}\lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_{jj}c^2+a_{kk}s^2+2sca_{jk} & sc(a_{kk} - a_{jj}) + a_{jk}(c^2-s^2) \\ sc(a_{kk} - a_{jj}) + a_{jk}(c^2-s^2) & a_{jj}s^2+a_{kk}c^2 - 2sca_{jk} \end{bmatrix} }[/math].

Приравняем внедиагональный элемент нулю: [math]\displaystyle{ \dfrac{a_{jj}-a_{kk}}{2a_{jk}}=\dfrac{c^2-s^2}{2sc}=\dfrac{\cos2\theta}{\sin2\theta}=\operatorname{ctg}2\theta\equiv\tau }[/math]

Положим [math]\displaystyle{ tg\theta=t=\dfrac{s}{c} }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ t^2+2t\tau-1=0 }[/math].

Решая квадратное уравнение, получим: [math]\displaystyle{ t=\dfrac{\operatorname{sign}\tau}{\left|\tau\right|+\sqrt{1+\tau^2}}, c=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}, s=t\cdot c. }[/math]

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: плотная матрица [math]\displaystyle{ A=\{a_{ij}\}, A\in\R^{n\times n} }[/math]. Дополнительные ограничения: [math]\displaystyle{ A }[/math] — симметрическая матрица, т. е. [math]\displaystyle{ a_{ij}= a_{ji}, i, j = 1, \ldots, n }[/math].

Объём входных данных:[math]\displaystyle{ \frac{n (n + 1)}{2} }[/math] (в силу симметричности достаточно хранить только диагональ и над- или поддиагональные элементы). В разных реализациях эта экономия хранения может быть выполнена разным образом.

Выходные данные: диагональная матрица [math]\displaystyle{ \Lambda=\{\lambda_{ii}\} }[/math], где [math]\displaystyle{ \lambda_{ii} }[/math] — собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math].

Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ n }[/math] (достаточно хранить только диагональные элементы).