Участник:IanaV/Алгоритм k means

Авторы страницы: Валуйская Я.А. и Глотов Е.С.

Свойства и структура алгоритма

Общее описание алгоритма

Алгоритм k-means (k средних) - один из наиболее популярных алгоритмов кластеризации. Алгоритм был изобретён в 1950-х годах математиком Гуго Штейнгаузом, и почти одновременно его изобрел Стюарт Ллойд. Особую популярность алгоритм снискал после работы Маккуина.

Алгоритм кластеризации k-means решает задачу распределения N наблюдений по K кластерам так, чтобы наблюдение принадлежало одному кластеру, который имеет наименьшее удаление от наблюдения.

Математическое описание алгоритма

Исходные данные:

• множество наблюдений [math]\displaystyle{ X = \{x_1, x_2, ..., x_n\} }[/math], где каждое наблюдение [math]\displaystyle{ x_i \in R^d, i = 1, ..., n }[/math];
• количество кластеров [math]\displaystyle{ k \in N, k \leq n }[/math]

Обозначения:

• [math]\displaystyle{ S = \{S_1, S_2, ..., S_k \} }[/math] - множество кластеров, которые удовлетворяют следующим условиям:
  • [math]\displaystyle{ S_i \bigcap S_j = \emptyset, i \neq j }[/math];
  • [math]\displaystyle{ X = {\bigcup \limits _{i = 1}^k S_i} }[/math].

• [math]\displaystyle{ \mu_i, i = 1, ..., k }[/math] - центр масс кластера [math]\displaystyle{ S_i }[/math]

Выходные данные:

• [math]\displaystyle{ l = (l_1, l_2, ..., l_n) }[/math], где [math]\displaystyle{ l_i \in [1, k] }[/math] - является порядковым номером кластера, к которому принадлежит вектор [math]\displaystyle{ x_i }[/math]: [math]\displaystyle{ x_i \in S_{l_i} }[/math]

Цель алгоритма k-means - распределить наблюдения из входного множества [math]\displaystyle{ X }[/math] по [math]\displaystyle{ k }[/math] кластерам [math]\displaystyle{ S = \{S_1, S_2, ..., S_k \} }[/math] таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний от каждой точки кластера до его центра по всем кластерам была минимальной:

[math]\displaystyle{ \arg\min_{S} \sum_{i=1}^{k} \sum_{x \in S_i} \left\| \mathbf x - \mu_i \right\|^2 }[/math],

Алгоритм состоит из следующих шагов:

1. Инициализация центров масс
   На данном шаге задаются начальные значения центров масс [math]\displaystyle{ \mu_1^1, ..., \mu_k^1 }[/math]. Существует несколько способов их выбора. Они будут рассмотрены ниже.
2. t-ый шаг итерации:
   • Распределение векторов по кластерам
     На данном шаге каждый вектор [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] распределяется в свой кластер [math]\displaystyle{ S_i^t }[/math] так, что:
     [math]\displaystyle{ l_i^t = \arg \min_{j} \left\| \mathbf x - \mu_j^t \right\|^2 , j = 1, ..., k }[/math]
   • Пересчет центров масс кластеров
     На данном шаге происходит пересчет центров масс кластеров, полученных на предыдущем этапе:
     [math]\displaystyle{ \mu_i^{t+1} = \frac{1}{|S_i^t|} \sum_{x \in S_i^t} x }[/math]
3. Критерий останова
   [math]\displaystyle{ \mu_i^t = \mu_i^{t+1}, }[/math] для всех [math]\displaystyle{ i = 1, ..., k }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительном ядром алгоритма является шаг 2, состоящий из следующих этапов:

1. распределение векторов по кластерам;
2. пересчет центров масс кластеров.

Распределение векторов по кластерам заключается в следующем: для каждого вектора [math]\displaystyle{ x_i \in X, i = 1, ..., n }[/math] необходимо посчитать расстояние между этим вектором и центром масс кластера [math]\displaystyle{ \mu_j^t, j = 1, ..., k }[/math]. Следовательно, необходимо выполнить [math]\displaystyle{ n * k }[/math] операций вычисления расстояния между векторами. В качестве расстояния между векторами [math]\displaystyle{ v \in R^m }[/math] и [math]\displaystyle{ u \in R^m }[/math] используется Евклидова метрика [math]\displaystyle{ d(v, u) = \sqrt{\sum_{j=1}^{m} (v_j - u_j)^2} }[/math].

Пересчет центров масс кластеров заключается в следующем: для каждого кластера [math]\displaystyle{ S_i^t \in S, i = 1, ..., k }[/math] необходимо пересчитать кластер по формуле, приведенной в пункте выше.

Программная реализация алгоритма

Существующие реализации алгоритма

Существуют следующие Open Source реализации алгоритма:

• ELKI - содержит реализацию алгоритма k-means на языке Java (в том числе реализацию улучшенного алгоритма k-means++)
• Weka - содержит реализацию k-means на языке Java
• Apache Mahout - содержит реализацию k-means в парадигме MapReduce
• Spark Mllib - содержит распределенную реализацию k-means
• Accord.NET - содержит реализацию k-means на C# (в том числе реализацию улучшенного алгоритма k-means++)
• MLPACK - содержит реализацию k-means на языке C++
• OpenCV - содержит реализацию k-means на C++. А также есть обертки для языков Python и Java
• SciPy - содержит реализацию k-means на языке Python
• Scikit-learn - содержит реализацию k-means на языке Python
• Julia - содержит реализацию алгоритма k-means на языке Julia
• Octave - содержит реализацию k-means на языке Octave
• R - содержит реализацию k-means на языке R
• Torch - содержит реализацию k-means на языке Lua