Участник:Александр Куваев/Алгоритм кластеризации, основанный на максимизации ожидания
Авторы описания: Куваев А.С. и Щенявская Е.В.
Свойства и структура алгоритмов
Общее описание алгоритма
Задача кластеризации заключается в разбиении входного множества объектов на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались друг от друга.
Решение этой задачи принципиально неоднозначно по следующим причинам:
- результат кластеризации зависит от способа задания меры сходства объектов выборки
- не существует однозначно наилучшего критерия качества кластеризации
- число кластеров, как правило, неизвестно заранее и задается из некоторых априорных соображений (хотя существуют алгоритмы, способные определять число кластеров автоматически)
По описанной выше причине существует большое число алгоритмов кластеризации, приводящих к различным разбиениям исходного множества объектов. На этой странице представлено описание одного из таких методов — EM-алгоритма. EM-алгоритм опирается на предположение о вероятностной природе данных: элементы выборки получены случайно и независимо из смеси распределений с фиксированным числом компонент [math]\displaystyle{ k }[/math]. Таким образом, плотность распределения на множестве объектов имеет следующий вид:
[math]\displaystyle{ p(x)=\sum_{j=1}^{k}w_{j}p_{j}(x), \sum_{j=1}^{k}w_{j}=1, w_{j} \ge 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ p_{j} }[/math] - плотность распределения [math]\displaystyle{ j }[/math]-й компоненты смеси.
В дальнейшем будем предполагать, что [math]\displaystyle{ p_{j} }[/math] имеют вид многомерных нормальных плотностей с произвольной матрицей ковариации: смеси нормальных распределений позволяют аппроксимировать произвольные непрерывные функции плотности с наперед заданной точностью. Результатом работы EM-алгоритма являются оценки априорных вероятностей компонент смеси [math]\displaystyle{ w_{j} }[/math], а также оценки векторов математических ожиданий и матриц ковариации для каждой компоненты.
EM-алгоритм позволяет значительно упростить задачу максимизации правдоподобия выборки путем искусственного введения вспомогательной матрицы скрытых переменных [math]\displaystyle{ G }[/math]. Алгоритм заключается в последовательном повторении шагов E(expectation) и M(maximization):
- На шаге E на основе текущего приближения параметров смеси по формуле Байеса вычисляются ожидаемые значения скрытых переменных [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] — апостериорные вероятности того, что [math]\displaystyle{ i }[/math]-й объект принадлежит кластеру [math]\displaystyle{ j }[/math].
- На шаге M решается задача максимизации правдоподобия для нахождения следующего приближения параметров смеси на основе текущего приближения и матрицы скрытых переменных.
