Участник:Бугаков Юрий/Построение матрицы Адамара произвольного размера

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Общее описание алгоритма

Важную роль в алгебре и комбинаторике играют матрицы Адамара, которые впервые были введены в математический обиход в конце прошлого века одним из крупнейших французских математиков Жаком Адамаром (1865-1963). Их применение в науке и технике посвящены тысячи публикаций. Они предоставляют эффективные возможности для организации хранения, обработки и передачи информации.

Квадратная матрица Н порядка n с элементами ±1 называется матрицей Адамара, если выполняется условие

[math]\displaystyle{ H_n\,H_n^T = n\,E_n }[/math]

Нетрудно показать, что различные строки матрицы Адамара попарно ортогональны. Также можно увидеть из определения, что n четно и любые две строки совпадают ровно в n/2 позициях и различаются в остальных.

Матрицу Адамара можно определить эквивалентным образом:

[math]\displaystyle{ H_{n} = H_1\otimes H_{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} H_1 = &\begin{pmatrix}\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\end{pmatrix} \end{align} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \otimes }[/math] представляет собой тензорное произведение, то есть

[math]\displaystyle{ H_{n} = \begin{pmatrix} H_{n-1} & H_{n-1}\\ H_{n-1} & -H_{n-1}\end{pmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} H_1 = &\begin{pmatrix}\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\end{pmatrix} \end{align} }[/math]

С матрицами Адамара связан ряд нерешенных проблем, одна из которых состоит в следующем. Мы уже видели, что порядок n матрицы Адамара при n ≥ 3 может быть лишь четным. Более того, при n ≥ 4 порядок обязан делиться на 4. До сих пор остается открытым вопрос: для любого ли n, кратного 4, существует матрица Адамара порядка n? Неизвестно, в частности, существует ли матрица Адамара порядка 268 (это наименьший порядок, кратный 4, для которого матрица Адамара еще не построена).

Часто размерность матрицы Адамара считают равной степени 2 и нормализируют её. Определение принимает следующий вид:

Матрицей Адамара H_n эта матрица размера 2ⁿ × 2ⁿ, для которой справедливо равенство

[math]\displaystyle{ H_n = H_{1} \otimes H_{n-1} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} H_1 = \frac{1}{\sqrt2} &\begin{pmatrix}\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\end{pmatrix} \end{align} }[/math]

где [math]\displaystyle{ \otimes }[/math] представляет собой тензорное произведение.

Также, мы можем вычислить значения каждого элемента матрицы Адамара [math]\displaystyle{ H_n }[/math]. Для этого представим порядковые номера k и l элемента [math]\displaystyle{ h_{kl} }[/math] в виде двоичного разложения

[math]\displaystyle{ k = \sum^{m-1}_{i=0} {k_i 2^i} = k_{m-1} 2^{m-1} + k_{m-2} 2^{m-2} + \cdots + k_1 2 + k_0 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ l = \sum^{m-1}_{i=0} {l_i 2^i} = l_{m-1} 2^{m-1} + l_{m-2} 2^{m-2} + \cdots + l_1 2 + l_0 }[/math]

где k_j и l_j коэффициенты двоичного разложения чисел k и l (1 или 0).

Тогда каждый элемент матрицы Адамара [math]\displaystyle{ H_n }[/math] имеет вид

[math]\displaystyle{ h_{k,l} = \frac{1}{2^\frac{n}{2}} (-1)^{\sum_j k_j l_j} }[/math]

Представим некоторые частные примеры матриц Адамара:

[math]\displaystyle{ \begin{align} H_0 = &+1\\ H_1 = \frac{1}{\sqrt2} &\begin{pmatrix}\begin{array}{rr} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{array}\end{pmatrix} \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} H_2 = \frac{1}{2} &\begin{pmatrix}\begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\end{pmatrix}\\ H_3 = \frac{1}{2^{\frac{3}{2}}} &\begin{pmatrix}\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1\\ 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 \end{array}\end{pmatrix}\\ \end{align} }[/math]