Участник:Александр Куваев/Алгоритм кластеризации, основанный на максимизации ожидания

Авторы описания: Куваев А.С. и Щенявская Е.В.

Свойства и структура алгоритмов

Общее описание алгоритма

Задача кластеризации заключается в разбиении входного множества объектов на непересекающиеся подмножества, называемые кластерами, так, чтобы каждый кластер состоял из схожих объектов, а объекты разных кластеров существенно отличались друг от друга.

Решение этой задачи принципиально неоднозначно по следующим причинам:

1. результат кластеризации зависит от способа задания меры сходства объектов выборки
2. не существует однозначно наилучшего критерия качества кластеризации
3. число кластеров, как правило, неизвестно заранее и задается из некоторых априорных соображений (хотя существуют алгоритмы, способные определять число кластеров автоматически)

По описанной выше причине существует большое число алгоритмов кластеризации, приводящих к различным разбиениям исходного множества объектов. На этой странице представлено описание одного из таких методов — EM-алгоритма. EM-алгоритм опирается на предположение о вероятностной природе данных: элементы выборки получены случайно и независимо из смеси распределений с фиксированным числом компонент [math]\displaystyle{ k }[/math]. Таким образом, плотность распределения на множестве объектов имеет следующий вид:

[math]\displaystyle{ p(x)=\sum_{j=1}^{k}w_{j}p_{j}(x), \ \sum_{j=1}^{k}w_{j}=1, \ w_{j} \ge 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ p_{j} }[/math] - плотность распределения [math]\displaystyle{ j }[/math]-й компоненты смеси.

Везде в дальнейшем будем предполагать, что [math]\displaystyle{ p_{j} }[/math] имеют вид многомерных нормальных плотностей с произвольной матрицей ковариации: смеси нормальных распределений позволяют аппроксимировать произвольные непрерывные функции плотности с наперед заданной точностью. Результатом работы EM-алгоритма являются оценки априорных вероятностей компонент смеси [math]\displaystyle{ w_{j} }[/math], а также оценки векторов математических ожиданий и матриц ковариации для каждой компоненты.

EM-алгоритм позволяет значительно упростить задачу максимизации правдоподобия выборки путем искусственного введения вспомогательной матрицы скрытых переменных [math]\displaystyle{ G }[/math]. Алгоритм заключается в последовательном повторении шагов E(expectation) и M(maximization):

• На шаге E на основе текущего приближения параметров смеси по формуле Байеса вычисляются ожидаемые значения скрытых переменных [math]\displaystyle{ g_{ij} }[/math] — апостериорные вероятности того, что [math]\displaystyle{ i }[/math]-й объект принадлежит кластеру [math]\displaystyle{ j }[/math].
• На шаге M решается задача максимизации правдоподобия для нахождения следующего приближения параметров смеси на основе текущего приближения и матрицы скрытых переменных, при этом решение этой задачи выписывается в явном виде.

Рисунок 1. Визуализация компонент смеси после некоторых итераций алгоритма в двумерном пространстве признаков. Для каждой компоненты эллипсами выделены доверительные области с уровнями доверия 0.9, 0.95 и 0.99.

Математическое описание алгоритма

Пусть заданы [math]\displaystyle{ l }[/math] объектов [math]\displaystyle{ x_{1},\dotsc,x_{l} }[/math], каждый из которых описывается [math]\displaystyle{ n }[/math] числовыми признаками. Таким образом, определена матрица объектов-признаков [math]\displaystyle{ X \in \R^{l \times n} }[/math]. Предполагается, что объекты выбраны случайно и независимо из смеси [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерных нормальных распределений с фиксированным числом компонент [math]\displaystyle{ k }[/math]. Плотность распределения на множестве объектов имеет вид:

[math]\displaystyle{ p(x)=\sum_{j=1}^{k}w_{j}p_{j}(x), \ \sum_{j=1}^{k}w_{j}=1, \ w_{j} \ge 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ p_{j} }[/math] - плотность распределения [math]\displaystyle{ j }[/math]-й компоненты смеси.

Каждая компонента смеси описывается [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерным вектором математических ожиданий [math]\displaystyle{ \mu_{j} }[/math] и матрицей ковариации [math]\displaystyle{ \Sigma_{j} }[/math] порядка [math]\displaystyle{ n }[/math], [math]\displaystyle{ j = 1,\dotsc,k }[/math].

Исходные данные: матрица объектов-признаков [math]\displaystyle{ X }[/math], число кластеров [math]\displaystyle{ k }[/math], максимальное число итераций [math]\displaystyle{ imax }[/math], минимальная величина изменения логарифма правдоподобия [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].

Вычисляемые данные: набор оценок весов, математических ожиданий и ковариационных матриц компонент смеси [math]\displaystyle{ \theta = (w_{1},...,w_{k}; \; \mu_{1},...,\mu_{k}; \; \Sigma_{1},...,\Sigma_{k}) }[/math], максимизирующий правдоподобие выборки.

Структура алгоритма:

• Инициализация параметров: существует большое число вариантов инициальзации параметров распределения. Один из возможных подходов - задание векторов математических ожиданий компонент случайными элементами выборки, задание матриц ковариации единичными матрицами и задание весов компонент равными [math]\displaystyle{ \frac{1}{k} }[/math].
• Последовательное выполнение шагов E и M до тех пор, пока правдоподобие выборки не стабилизируется или не будет достигнуто максимальное число итераций:
  • Шаг E: вычисление значений скрытых переменных по формуле Байеса:

  [math]\displaystyle{ g_{ij} = \frac{w_{j} p_{j}(x_{i})}{\sum_{s=1}^{k} w_{s} p_{s}(x_{i})} }[/math] , где [math]\displaystyle{ p_{j}(x_{i}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{|\Sigma_{j}|}} \exp \biggl( -\frac{1}{2}(x_{i} - \mu_{j})^{T} \Sigma_{j}^{-1} (x_{i} - \mu_{j}) \biggr), \ i = 1,\dotsc,l; \ j = 1,\dotsc,k }[/math]

  • Шаг M: перерасчет параметров смеси на основе текущего приближения и матрицы скрытых переменных:

  [math]\displaystyle{ w_{j} = \frac{1}{l} \sum_{i=1}^{l} g_{ij}, \ j = 1,\dotsc,k; }[/math]

  [math]\displaystyle{ \mu_{j} = \frac{1}{l w_{j}} \sum_{i=1}^{l} g_{ij} x_{i}, \ j = 1,\dotsc,k; }[/math]

  [math]\displaystyle{ \Sigma_{j} = \frac{1}{l w_{j}} \sum_{i=1}^{l} g_{ij}(x_{i} - \mu_{j})(x_{i} - \mu_{j})^T, \ j = 1,\dotsc,k. }[/math]

Вычислительное ядро алгоритма

Вычислительное ядро EM-алгоритма - процедура последовательного выполнения шагов E и M:

• На шаге E на основе текущего приближения параметров смеси вычисляются ожидаемые значения скрытых переменных
• На шаге M вычисляется следующее приближение параметров смеси на основе текущего приближения и матрицы скрытых переменных

Наиболее трудоемкой операцией с вычислительной точки зрения является шаг E, в ходе которого производится обращение ковариационных матриц, вычисление их определителей, а также многократное перемножение векторов и матриц при вычислении скрытых переменных.

Макроструктура алгоритма

Алгоритма состоит из двух итерационно проводимых макроопераций: E-шага и M-шага.

В ходе E-шага используется:

• Обращение ковариационной матрицы и вычисление ее определителя
• Умножение вектор-строки на матрицу и вектор-строки на вектор-столбец

В ходе M-шага используется:

• Умножение вектор-столбца на вектор-строку
• Взвешенное суммирование векторов и матриц

Схема реализации последовательного алгоритма

1. Для всех [math]\displaystyle{ j = 1,\dotsc,k }[/math]:

   Инициализировать [math]\displaystyle{ w_{j}, \ \mu_{j}, \ \Sigma_{j} }[/math]

2. Для всех [math]\displaystyle{ iter = 1,\dotsc,imax }[/math]:
   1. Шаг E:

      Для всех [math]\displaystyle{ j = 1,\dotsc,k }[/math]:

      Вычислить [math]\displaystyle{ |\Sigma_{j}|, \ \Sigma_{j}^{-1} }[/math]

      Для всех [math]\displaystyle{ i = 1,\dotsc,l }[/math]:

      [math]\displaystyle{ sum = 0 }[/math]

      Для всех [math]\displaystyle{ j = 1,\dotsc,k }[/math]:

      Вычислить [math]\displaystyle{ p_{j}(x_{i}) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}\sqrt{|\Sigma_{j}|}} \exp \biggl( -\frac{1}{2}(x_{i} - \mu_{j})^{T} \Sigma_{j}^{-1} (x_{i} - \mu_{j}) \biggr) }[/math]

      [math]\displaystyle{ sum = sum + w_{j}p_{j}(x_{i}) }[/math]

      Для всех [math]\displaystyle{ j = 1,\dotsc,k }[/math]:

      Вычислить [math]\displaystyle{ g_{ij} = \frac{w_{j} p_{j}(x_{i})}{sum} }[/math]

   2. Шаг M:

      Для всех [math]\displaystyle{ j = 1,\dotsc,k }[/math]:

      Вычислить [math]\displaystyle{ w_{j} = \frac{1}{l} \sum_{i=1}^{l} g_{ij} }[/math]

      Вычислить [math]\displaystyle{ \mu_{j} = \frac{1}{l w_{j}} \sum_{i=1}^{l} g_{ij} x_{i} }[/math]

      Вычислить [math]\displaystyle{ \Sigma_{j} = \frac{1}{l w_{j}} \sum_{i=1}^{l} g_{ij}(x_{i} - \mu_{j})(x_{i} - \mu_{j})^T }[/math]

   3. Вычислить изменения логарифма правдоподобия [math]\displaystyle{ \Delta }[/math]
   4. Если [math]\displaystyle{ \Delta \lt \varepsilon }[/math], то досрочно выйти из цикла
3. Вернуть [math]\displaystyle{ w_{j}, \mu_{j}, \Sigma_{j}, \ j = 1,\dotsc,k. }[/math]

Входные и выходные данные алгоритма

Входные данные: плотная матрица объектов-признаков [math]\displaystyle{ X \in \R^{l \times n} }[/math], число кластеров [math]\displaystyle{ k }[/math], максимальное число итераций [math]\displaystyle{ imax }[/math], минимальная величина изменения логарифма правдоподобия [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math].

Объём входных данных: [math]\displaystyle{ ln + 3 }[/math]

Выходные данные: вещественный вектор весов [math]\displaystyle{ w \in \R^{k} }[/math], [math]\displaystyle{ k }[/math] вещественных векторов математических ожиданий [math]\displaystyle{ \mu_{j} \in \R^{n} }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math] вещественных ковариационных матриц [math]\displaystyle{ \Sigma_{j} \in \R^{n \times n} }[/math]

Объём выходных данных: [math]\displaystyle{ k(n^{2}+n+1) }[/math]