Метод Хаусхолдера (отражений) приведения матрицы к хессенберговой (почти треугольной) форме
Метод Хаусхолдера (в советской математической литературе чаще называется методом отражений) используется для разложения матриц в виде [math]\displaystyle{ A=QRQ^T }[/math] ([math]\displaystyle{ Q }[/math] - ортогональная, [math]\displaystyle{ R }[/math] — правая почти треугольная матрица)[1]. При этом матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math] хранится и используется не в своём явном виде, а в виде произведения матриц отражения[2]. Каждая из матриц отражения может быть определена одним вектором. Это позволяет в классическом исполнении метода отражений хранить результаты разложения на месте матрицы A с использованием одномерного дополнительного массива.
Для выполнения разложения матрицы в произведение хессенберговой и двух ортогональных используются попеременные умножения слева и справа её текущих модификаций на матрицы Хаусхолдера (отражений).
Матрица отражений (Хаусхолдера) - матрица вида [math]\displaystyle{ U=E-2ww^* }[/math], где [math]\displaystyle{ w }[/math] - вектор, удовлетворяющий равенству [math]\displaystyle{ w^{*}w=1 }[/math]. Является одновременно унитарной ([math]\displaystyle{ U^{*}U=E }[/math]) и эрмитовой ([math]\displaystyle{ U^{*}=U }[/math]), поэтому обратна самой себе ([math]\displaystyle{ U^{-1}=U }[/math]).
Кроме классического метода, есть и другие варианты метода Хаусхолдера, отличающиеся либо наличием блочных операций, либо другими нюансами.