Метод Хаусхолдера (отражений) QR-разложения хессенберговой матрицы (вещественный вариант)
Метод Хаусхолдера (в советской математической литературе чаще называется методом отражений) используется для разложения матриц в виде [math]\displaystyle{ A=QR }[/math] ([math]\displaystyle{ Q }[/math] - унитарная, [math]\displaystyle{ R }[/math] — правая треугольная матрица)[1]. При этом матрица [math]\displaystyle{ Q }[/math] хранится и используется не в своём явном виде, а в виде произведения матриц отражения[2].
Матрица отражений (Хаусхолдера) - матрица вида [math]\displaystyle{ U=E-2ww^* }[/math], где [math]\displaystyle{ w }[/math] - вектор, удовлетворяющий равенству [math]\displaystyle{ w^{*}w=1 }[/math]. Является одновременно унитарной ([math]\displaystyle{ U^{*}U=E }[/math]) и эрмитовой ([math]\displaystyle{ U^{*}=U }[/math]), поэтому обратна самой себе ([math]\displaystyle{ U^{-1}=U }[/math]).
Поскольку для QR-разложения хессенберговой матрицы нужно "обнулить" только элементы одной диагонали, то, в отличие от стандартной реализации метода Хаусхолдера для плотной квадратной матрицы, для него нужно выполнять операции отражения с базой на приведении двумерных векторов к одному из ортов, то есть этот алгоритм квадратичен по порядку выполняемых операций. Критический путь этого алгоритма, как и в случае метода Гивенса, от которого метод Хаусхолдера отличается только коэффициентами в матрицах, линеен.
Алгоритм, однако, в своём чистом виде практически не используется. Дело в том, что в QR-алгоритме, где QR-разложения хессенберговых матриц формально используются, для экономии ресурсов они давно применяются в неявном виде, а именно в составе QR-итераций с неявным двойным сдвигом[3].